最大功率传输定理
必须考虑的第三个影响因素不是特别明显：最大功率传输定理。为了从具有等效串联电阻的超级电容源获得最大外部功率（参见图3），负载电阻必须等于源电阻。本文交替使用耗尽、备份或负载几种表述，在这里它们都表示相同的意思。
图3．从具有串联电阻的电容堆栈供电
如果我们将图3中的示意图作为戴维南等效电路，可以使用以下公式，轻松计算出负载的功耗：
为了计算最大的功率传输，我们可以对前一个公式求导，求出它为零时的条件。RSTK ＝ RLOAD时就是这种情况。
让RSTK ＝ RLOAD，可以得出：
这也可以直观地理解。也就是说，如果负载电阻大于源电阻，由于总电路电阻增大，负载功率会降低。同样，如果负载电阻低于源电阻，则由于总电阻降低，大部分功耗在电容源内；类似的，负载中消耗的功率也降低。因此，对于给定的电容电压和给定的堆栈电阻（超级电容的ESR），当源阻抗和负载阻抗匹配时，可传输功率最大。
图4．可用功率与堆栈电流的关系曲线
关于设计中的可用电能有一些提示说明。由于堆叠式超级电容的ESR固定不变，所以在备份操作期间唯一变化的值就是堆栈电压，当然也包括堆栈电流。
为了满足备份负载的要求，随着堆栈电压降低，支持负载所需的电流增加。遗憾的是，电流增加到超过定义的最佳水平时，会增加超级电容的ESR损失，从而导致可用备份功率降低。如果这种情况发生在DC－DC转换器达到其最低输入电压之前，则会转化为额外的可用电能损失。
图5．此图显示某些输出功率所需最小VIN的推导过程
图5显示可用功率与VSTK的函数关系图，假设最优电阻与负载匹配，备用功率为25 W。此图也可以视为无单位时基：当超级电容满足所需的25 W备份功率时，超级电容向负载放电，堆栈电压随之降低。在3 V时，存在一个拐点，此时负载电流高于最优水平，导致负载的可用备用功率降低。这是系统的最大输出功率点，就在这个点，超级电容的ESR损失增加。在这个示例中，3 V明显高于DC－DC转换器的压差，所以不可用电能完全由超级电容引起，导致调节器未得到充分利用。理想情况下，超级电容达到压差，使得系统供电能力达到最高。
使用之前的PBACKUP方程，我们可以求解VSTK（MIN）同样，我们也可以考虑升压转换器的效率，并将其加到这个公式中：
升压运算：
使用这个下限值VSTK（MIN），我们可以从最大和最小电池电压中得出电容利用率αB：
在确定备份时间时，不仅超级电容的电容值至关重要，电容的ESR也同样重要。超级电容的ESR决定了有多少堆栈电压可用于备份负载，也就是利用率。
由于从输入电压、输出电流和占空比方面来看，备份过程是一个动态过程，所以计算所需堆栈电容的完整公式不会像前面的版本那么简单。可以看出，最终公式为：
其中η ＝ DC－DC转换器的效率。
超级电容备份系统设计方法
根据前面介绍的概念和计算说明，超级电容备份系统设计方法总结如下：
?确定PBackup和tBackup的备份要求。
?针对所需的电容使用寿命确定最大电池电压VSTK（MAX）。
?选择堆叠电容数量（n）。
?为超级电容选择所需的利用率αB（例如，80％到90％）。
?求解得出电容CSC：
?找到具有足够CSC的超级电容，并检验是否满足最低RSC公式：
图6．采用25 F电容的36 W、4秒保持时间系统和LTC3350／LTC3351的计算结果
图7．采用45 F电容系统和LTC3350／ LTC3351的计算结果
如果没有合适的电容，可以选择更高的电容、更高的电池电压、更多的堆叠电容或更低的利用率进行迭代。
考虑超级电容的寿命终止因素
对于必须达到一定使用寿命的系统，使用前面所述方法并考虑EOL值时必须进行相应更改，一般采用70％ CNOM、200％ ESRNOM。这使计算变得复杂，但是大部分ADI超级电容管理器都可以使用产品页面上现有的电子表格工具进行计算。
我们以LTC3350为例来使用简化方法：
?所需的备用功率为36 W，持续时间为4秒。
?为实现更长的使用寿命／支持更高的环境温度，将VCELL（MAX）设置为2．4 V。
?四个电容以串联方式堆叠在一起。
?DC－DC效率（?）为90％。
?使用最初推测的25 F电容，通过电子表格工具可得出结果，如图6所示。
基于最初推测的25 F电容，我们使用标称值得出了所需的4秒备份时间（具有25％的额外裕量）。但是，如果我们考虑ESR和电容的EOL值，我们的备份时间几乎缩短一半。若要使用电容的EOL值获得4秒备份时间，我们必须至少修改其中一个输入参数。由于它们大多是固定值，因此电容是最容易增加的参数。
?将电容增加至45 F，通过电子表格工具得出结果，如图7所示。
使用45 F时，由于标称值提供了长达9秒的备份时间，增加的幅度似乎很大。但是，通过添加CAPEOL和ESREOL参数，并得出6．2 V最低堆栈电压之后，考虑EOL时的备份时间骤降一半。但是，这仍然满足我们需要4秒备份时间的要求，并且具有5％的额外裕量。
额外的超级电容管理器功能
LTC3350和LTC3351通过集成ADC提供额外的遥测功能。这些部件可以测量超级电容堆栈的系统电压、电流、电容和ESR。进行电容和ESR测量时，对在线系统的影响也极小。器件配置和测量通过I2C／SMBus进行通信。因此系统处理器能够在应用的生命周期内监控重要参数，确保可用的备份电源满足系统要求。
LTC3350和LTC3351能够实时测量超级电容堆栈的电容和ESR，使用新电容时可降低钳位电压，从而轻松满足备份要求。接收遥测数据的处理器可以进行编程，以实施上述计算。因此系统可实时计算满足备份时间所需的最小箝位电压，并考虑实时电容和ESR。该算法将进一步提高超级电容备份系统的使用寿命，如图2所示，在高温条件下，即使钳位电压稍微降低，也会显著延长超级电容的寿命。
最后，LTC3351具有热插拔控制器，用于提供保护功能。热插拔控制器使用背对背N通道MOSFET提供折返限流功能，可减少高可用性应用中的浪涌电流和短路保护。
结论
利用标称值下的电能传输基础知识，可以将计算满足备用规格所需的电容值转换为简单的计算所需功率，以及存储功率问题。遗憾的是，当您考虑最大功率传输、电容器的EOL电容和ESR的影响时，这种简单的方法无法满足要求。这些因素会极大地影响系统在整个寿命周期内的可用电能。利用ADI的集成超级电容解决方案和大量可用的备份时间计算工具，模拟工程师可以胸有成竹地设计和构建可靠的超级电容器备份／保持解决方案，不仅能够在应用的使用寿命内满足设计要求，而且对成本的影响极小。
